Złudzenia optyczne

Choć mają niewiele wspólnego z matematyką, pobudzają do krytycznego myślenia, przekomarzają się z naszymi zmysłami. Nie potrafię odmówić sobie takiej przyjemności! Poniższe przykłady to tylko ułamek iluzji zebranych na stronie Mighty Optical Illusions. Polecam!

Złudzenie numer 1: Bliźniacze kule

To, co widzicie to dobrze znany efekt względnego rozmiaru.

W tym przypadku mózg błędnie intepretuje to, co widzą oczy. Informacje przekazywane przez wzrok są interpretowane przez umysł, który bardzo sprytnie zgaduje, co powinien widzieć. Zazwyczaj to bardzo pożyteczna umiejętność. Ale czasem różnica pomiędzy faktycznym i postrzeganym obrazem może być zadziwiająca! Ceglany wzór w tle wzmacnia poczucie trójwymiarowości, pomagając oszukać naszą percepcję.

Złudzenie numer 2: Krzywa szachownica

Oto złudzenie z gatunku pozornego ugięcia. Choć są proste i równoległe, poziome linie na rysunku wydają się zagięte.

Andy_0360 (zobacz jego profil na Flickr) tworzy dziwne obrazki, używając do tego wyłącznie klocków lego. Pamiętacie grzybka z Super Mario Bros? To jego ulubiona postać. Jeżeli nadal nie wierzysz, że linie na obrazku są proste, zobacz ten film. To małe guziczki mieszają nam w głowach.


Złudzenie numer 3: Płaskie czy trójwymiarowe?

Spójrz na miniaturkę po prawej stronie. Zanim obejrzysz film,  czy jesteś w stanie określić, który z przedmiotów na kartce jest prawdziwy? A dokładnie, który jest obrazem anamorficznym?

Poniższy film został wyprodukowany przez agencję reklamową Leo Burnett z  São Paulo, jako reklama drukarek Samsunga.

Złudzenie numer 4: Dziwny wodospad

Holenderski artysta M.C. Escher nie raz udowodnił, że potrafi namieszać w głowach swoimi złudzeniami optycznymi. Wszyscy znamy jego "Wodospad" z 1961 roku - rysunek, na którym woda wydaje się płynąć w górę, zanim spadnie na koło młyńskie. Oryginał możecie oglądać po prawej stronie.

A gdyby taki wodospad istniał naprawdę? Czy McWolles naprawdę osiągnął niemożliwe? W filmie poniżej jego model wodospadu Eschera zdaje się naprawdę działać.

Szczerze mówiąc, nie mogę pojąć jak to działa. Czy złudzenie ma coś wspólnego z kątem kamery? A może zastosowano efekty specjalne? Piszcie, jeśli macie pomysł.

Co ma waga do równania?

Niektórym dodanie a b c do x y z, albo wymnażanie liter wydaje się szczytem absurdu. Gdyby tylko pojęli prostotę algebry...

Jeżeli waga jest w równowadze na pierwszym i drugim rysunku,
ilu kamyczków potrzeba by zrównoważyć trzecią wagę?

Zapomnij na chwilę o równaniach, podstawianiu, dodawaniu i mnożeniu stronami... Aby nie naruszyć równowagi szalek, możesz:

• kłaść lub zdejmować z szalek cieżarki o tej samej masie,
• zastępować odważniki innymi o tej samej wadze.

Nie czytaj dalej! Oto rozwiązanie:

Na pierwszej ilustracji widzimy, że bączek i trzy klocki ważą tyle samo co 12 kamyków. W drugim równaniu sam bączek równoważy klocek i osiem kamyków.

Dodajmy po trzy klocki do obu stron drugiej wagi (dodanie jednakowych wielkości do obu stron równania nie zaburza równowagi).

Na lewych szalkach obu wag znajdują się teraz bączek i trzy klocki.

Skoro lewe strony "równania" są równe - równe są też prawe strony. Cztery klocki i osiem kamyków ważą tyle samo co dwanaście kamyków. Z każdej strony zdejmijmy po osiem kamyków. Zobaczymy wtedy, że cztery klocki równoważą cztery kamyki, czyli kamyk waży tyle samo co klocek. 

Jeśli na drugiej wadze zastąpimy klocek kamykiem, łatwo obliczymy że bączek waży tyle, co dziewięć kamyków.

Gotowe! Widziałeś tu jakieś równanie?

Futurama - na potrzeby serialu powstało twierdzenie matematyczne

Doskonale wiemy, że twórcy Futuramy są niezłymi mózgami, ale to coś więcej. Aby uzpełnić przyprawiającą o zawrót głowy fabułę, scenarzysta Ken Keeler (przypadkiem doktor matematyki) dosłownie stworzył i udowodnił całkowicie nowe twierdzenie. Nie jest to może najbardziej imponujące dokonanie scenarzysty telewizyjnego - w końcu twórca "Gotowych na wszystko" odkrył nowy gatunek a ekipa serialu "Full House" opracowała szczepionkę na jeden ze szczepów syfilisu.

Should I stay or should I go? Odpowiedź

Wczoraj opublikowałam problem El Farol związany z teorią gier, wraz z kilkoma pytaniami (Jeśli jeszcze go nie czytałeś, wróć do poprzedniego posta - odpowiedź na niewiele się zda, jeśli nie znasz pytania).


Szczerze mówiąc, nie ma na niego odpowiedzi, a dokładniej - nie ma jednej, idealnej strategii. Jeżeli wszyscy zdecydują się pójść, nie będzie zabawy, a jeżeli wszyscy zostaną w domu bar będzie pusty i  byłoby ciekawiej się tam znaleźć.


Tak więc najlepszą strategią jest strategia mieszana, w której każda osoba ma określone prawdopodobieństwo, że wybierze się do baru. Prawdopodobieństwo zależy od tego, ile osób podejmuje decyzję, pojemności baru i tego, o ile wyjście do baru jest ciekawsze od zostania w domu dla każdej z osób.


Jeżeli możesz się komunikować i kłamać, powinieneś za każdym razem powiedzieć, że wybierasz się do baru. Jeżeli naprawdę się wybierasz, twoje kłamstwo powinno odstraszyć innych. Jeżeli zostajesz w domu, twoje kłamstwo Ci nie zaszkodzi.

Iść do baru, czy nie iść, oto jest pytanie

Wszyscy uwielbiają bar El Farol w Santa Fe (Nowy Meksyk), zwłaszcza W. Brian Arthur, który napisał tę zagadkę w roku 1994. W czwartkowe wieczory przyciąga mnóstwo miłośników irlandzkiej muzyki.

To znaczy, wszyscy kochają El Farol dopóty, dopóki nie jest zbyt zatłoczony.
Jeżeli jest wypełniony w mniej niż 60% można się w nim dobrze bawić, ale jeżeli jest wypełniony w ponad 60%, lepiej zostać w domu. A haczyk jest tutaj: każdy musi zdecydować o tym czy iść, czy nie, dokładnie w tym samym momencie, nie porozumiewając się.

Tajemnice detektywów

Jak w XIX wieku identyfikowano ludzi z dokładnością 1 : 4 194 304? Przy pomocy jedenastu prostych pomiarów ciała.

W roku 1879, gdy paryska policja zmagała się z falą przestępczości, Alphonse Bertillon opracował prostą metodę  identyfikowania przestępców po wymiarach części ciała. Opierał się na prawie Queteleta, mówiącym, że szansa napotkania dwóch osób o takim samym wzroście wynosi ok 1 : 4.

Pobranie jednego pomiaru nie jest specjalnie użyteczne, ale Bertillon zauważył, że tę zależność można stosować również do innych części ciała - długości i obwodu głowy, długości ramion, stóp czy palców. Przy dwóch pomiarach prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch takich samych zestawów wynosi 1:16, przy pięciu 1:1024, a przy jedenastu zdumiewające 1 : 4 194 304.

Rycina przedstawiająca metody pomiarów.

Aby metoda była skuteczna, wymagała idealnie dokładnych danych.

żródło: Wikipedia

U dorosłego człowieka wymiary ciała są stałe, zatem osoba która trafiła do bazy, mogła być rozpoznana do końca życia. Wprowadzenie metody Bertillona umożliwiło prawie natychmiastową identyfikację aresztowanego, jeżeli tylko jego wymiary widniały w bazie. Fałszywa tożsamość, zmiana wyglądu czy umieszczenie podstawionej osoby w więzieniu, mogły być natychmiast zdemaskowane. Oznaczało to koniec złotych czasów dla uciekinierów i recydywistów.

Gdy wprowadzano ten system, od dawna wykonywano już fotografie osób trafiających w ręce policji. Jednak wyszukanie osoby w zbiorze  tysięcy zdjęć graniczyło z cudem. Bertillonage, bo tak nazwano tę metodę identyfikacji, pozwalał na stworzenie kartotek, w których odnalezienie osoby sprowadzało się do   wyszukania odpowiedniej kategorii.

Portret opisowy

Autor tego rozwiązania nie poprzestał jednak na jednym wynalazku. Kilka lat później opracował  metodę opisu rysów twarzy. Zauważył, że najłatwiej obserwować rysy twarzy z profilu i nakazał wykonywanie właśnie takich zdjęć.

Rycina ilustrująca podstawowe typy nosów
żródło: Wikipedia

W portrecie opisowym dla określenia każdej z cech wyglądu używano jednego ze standardowych określeń. Dla przykładu nos mógł być wąski, haczykowaty, prosty, zadarty lub szeroki. Każda cecha odpowiadała jednej literze a ich połączenie dawało skrót - łatwą do zapamiętania i rozkodowania charakterystykę wyglądu.

Funkcjonariusze policji z niezadowoleniem przyjęli obowiązek wyuczenia się wszystkich standardowych określeń. Ale portret opisowy okazał się on nieoceniony przy codziennym przeglądzie aresztów. Funkcjonariusze przeglądali nowo aresztowanych, by sprawdzić, czy nie aresztowano przypadkiem osoby poszukiwanej, a dzięki portretowi opisowemu mogli robić to o wiele dokładniej

Przed odciskami palców

Dlaczego metody Bertillona nie są dziś stosowane? Niedługo po ich wprowadzeniu zyskały poważnego przeciwnika - odciski palców. W przeciwieństwie do bertillonage, odciski palców umożliwiały połączenie śladów z miejsca zbrodni z przestępcą. W dodatku ich pobranie było banalnie proste.  Ale odciski palców to temat na osobnego posta...

Informacje w tym artykule w większości pochodzą z książki "Stulecie detektywów" Jurgena Thorvalda. Serdecznię ją polecam! Spodziewajcie się kolejnych postów z dziedziny kryminologii - dopiero zaczynam czytać i mam wrażenie, że najciekawsze jeszcze przede mną. A jeżeli znajdę tam też odrobinę matematyki...

Matematyk rozwiązał zagadkę akordu w utworze The Beatles

Brzdddęk!
"It's been a hard day's night
And I've been working like a dog"

Akord rozpoczynający piosenkę"A Hard Day's Night" jest jednym z najbardziej rozpoznawalnych akordów otwierających utwór w historii rock & roll'a. Zagrał go George Harrison na swoim 12-strunowym Rickenbackerze.